Question

20．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tanC=$\frac{3}{4}$，c=-3bcosA．
（1）求tanB的值；
（2）若c=2，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得sinAcoB=-4sinBcosA，结合cosAcoB≠0，利用同角三角函数基本关系式，两角和的正切函数公式即可解得得解tanB的值．
（2）由（1）利用同角三角函数基本关系式可求sinA=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，sinB=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，sinC=$\frac{3}{5}$，利用正弦定理可求a，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：（1）由正弦定理，得sinC=-3sinBcosA，
∵sinC=sin（A+B），
∴sin（A+B）=-3sinBcosA，sinAcosB+cosAsinB=-3sinBcosA，
即sinAcoB=-4sinBcosA，
∵cosAcoB≠0，
∴tanA=-4tanB，
又tanC=-tan（A+B）=$\frac{tanA+tanB}{tanAtanB-1}$=$\frac{3tanB}{4ta{n}^{2}B+1}$=$\frac{3}{4}$，解得tanB=$\frac{1}{2}$．
（2）由（1）知，sinA=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，sinB=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，sinC=$\frac{3}{5}$，
∵a=$\frac{csinA}{sinC}$=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{4}{3}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，两角和的正切函数公式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．