Question

已知正方形ABCD的中心在原点，四个顶点都在函数f（x）=ax³+bx（a＞0）图象上．若正方形ABCD唯一确定，则b的值为________．

Answer 1

分析：设正方形ABCD对角线AC所在的直线方程为y=kx，则其斜率唯一确定，转化为二元方程只有唯一实数根，利用根的判别式求解即可．
解答：设正方形ABCD对角线AC所在的直线方程为y=kx（k≠0），
则对角线BD所在的直线方程为y=-x．
由，解得x²=，
所以AO²=x²+y²=（1+k²）x²=（1+k²）•，
同理，BO²=[1+（-）²]•=•，
又因为AO²=BO²，所以k³-k²b++b=0．
即k²+-b（k-）=0，即（k-）²-b（k-）+2=0．
令k-=t得t²-bt+2=0
因为正方形ABCD唯一确定，则对角线AC与BD唯一确定，于是k-值唯一确定，
所以关于t的方程t²-bt+2=0有且只有一个实数根，又k-=t∈R．
所以△=b²-8=0，即b=±2．
因为x²=＞0，a＞0，所以b＜k；又＞0，所以b＜-，故b＜0．
因此b=-2；
反过来b=-2时，t=-，k-=-，
于是k=，-=；或k=，-=．
于是正方形ABCD唯一确定．
故答案为：．
点评：本小题主要考查函数的解析式的求法以及导数，单调性，不等式等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．