【题目】某高校共有学生15 000人,其中男生10 500人,女生4500人.为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况,采用分层抽样的方法,收集300位学生每周平均体育运动时间(单位:h)的样本数据.
(1)应收集多少位女生的样本数据?
(2)根据这300个样本数据,得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示),其中样本数据的分组区间为[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12].估计该校学生每周平均体育运动时间超过4 h的概率.
(3)在样本数据中,有60位女生的每周平均体育运动时间超过4 h,请完成下面的2×2列联表,并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”?
男生 | 女生 | 总计 | |
每周平均体育运动时间不超过4h | |||
每周平均体育运动时间超过4h | |||
总计 |
附:
P(K2≥k0) | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.005 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |
【答案】(1)90;(2)0.75;(3)见解析
【解析】
(1)利用分层抽样,即可求解收集90位女生的样本数据;
(2)根据频率分布直方图,即可求解学生每周平均体育运动事件超过4h的概率的估计值;
(3)根据题意列出的列联表,利用的计算公式,求得的值,即可作出判断.
(1)由分层抽样可得300×=90,所以应收集90位女生的样本数据.
(2)由频率分布直方图得学生每周平均体育运动时间超过4 h的频率为1-2×(0.100+0.025)=0.75,所以该校学生每周平均体育运动时间超过4 h的概率的估计值为0.75.
(3)由(2)知,300位学生中有300×0.75=225(人)的每周平均体育运动时间超过4 h,75人的每周平均体育运动时间不超过4 h.样本数据中有210份是关于男生的,90份是关于女生的,可得如下列联表:
男生 | 女生 | 总计 | |
每周平均体育运动时间不超过4h | 45 | 30 | 75 |
每周平均体育运动时间超过4h | 165 | 60 | 225 |
总计 | 210 | 90 | 300 |
结合列联表可得K2的观测值k=≈4.762>3.841.
所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.
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【题目】环保部门对5家造纸厂进行排污检查,若检查不合格,则必须整改,整改后经复查仍然不合格的,则关闭.设每家造纸厂检查是否合格是相互独立的,且每家造纸厂检查前合格的概率是 ,整改后检查合格的概率是 ,求:
(Ⅰ)恰好有两家造纸厂必须整改的概率;
(Ⅱ)至少要关闭一家造纸厂的概率;
(Ⅲ)平均多少家造纸厂需要整改?(其中( )5≈ )
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【题目】某宾馆在装修时,为了美观,欲将客房的窗户设计成半径为1m的圆形,并用四根木条将圆分成如图所示的9个区域,其中四边形ABCD为中心在圆心的矩形,现计划将矩形ABCD区域设计为可推拉的窗口.
(1)若窗口ABCD为正方形,且面积大于 m2(木条宽度忽略不计),求四根木条总长的取值范围;
(2)若四根木条总长为6m,求窗口ABCD面积的最大值.
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【题目】如图,用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色,要求每个点涂一种颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同颜色,则不同的涂色方法有( )
A. 288种
B. 264种
C. 240种
D. 168种
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【题目】从1到9这9个数字中取3个偶数和4个奇数,试问:
(1)能组成多少个没有重复数字的七位数?
(2)在(1)中的七位数中,偶数排在一起,奇数也排在一起的有多少个?
(3)在(1)中任意2个偶数都不相邻的七位数有多少个?
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【题目】某宾馆在装修时,为了美观,欲将客房的窗户设计成半径为1m的圆形,并用四根木条将圆分成如图所示的9个区域,其中四边形ABCD为中心在圆心的矩形,现计划将矩形ABCD区域设计为可推拉的窗口.
(1)若窗口ABCD为正方形,且面积大于 m2(木条宽度忽略不计),求四根木条总长的取值范围;
(2)若四根木条总长为6m,求窗口ABCD面积的最大值.
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【题目】某学校1800名学生在一次百米测试中,成绩全部介于13秒与18秒之间,抽取其中50名学生组成一个样本,将测试结果按如下方式分成五组:第一组,第二组……,第五组,如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.
(1)请估计学校1800名学生中,成绩属于第四组的人数;
(2)若成绩小于15秒认为良好,求该样本中在这次百米测试中成绩良好的人数;
(3)请根据频率分布直方图,求样本数据的众数、平均数.
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【题目】如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,已知AB⊥AC,AB=2,AC=4,AA1=3.D是线段BC的中点.
(1)求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值;
(2)求二面角B1﹣A1D﹣C1的大小的余弦值.
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