Question

【题目】某宾馆在装修时，为了美观，欲将客房的窗户设计成半径为1m的圆形，并用四根木条将圆分成如图所示的9个区域，其中四边形ABCD为中心在圆心的矩形，现计划将矩形ABCD区域设计为可推拉的窗口．

（1）若窗口ABCD为正方形，且面积大于 m2（木条宽度忽略不计），求四根木条总长的取值范围；
（2）若四根木条总长为6m，求窗口ABCD面积的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：设一根木条长为xcm，则正方形的边长为2 = ，

∵SABCD＞ ，

∴4﹣x2＞ ，

∴x＜ ，

∵四根木条将圆分成9个区域，

∴x＞ ，

∴4 ＜x＜2 ；

（2）解：设AB所在木条长为am，CD所在木条长为bm，

由条件，2a+2b=6，则a+b=3，

∵a，b∈（0，2），

∴b=3﹣a∈（0，2），∴a，b∈（1，2）．

∵AB=2 ，BD=2 ，

∴SABCD=4 = ≤ ≤ = ，

当且仅当a=b= ∈（1，2）时，SABCD= ，

答：窗口ABCD面积的最大值为

【解析】（1）求出正方形的边长，可得正方形的面积，利用面积大于 m2 ， 即可求四根木条总长的取值范围；（2）设AB所在木条长为am，CD所在木条长为bm，求出AB，BD，可得窗口ABCD面积，利用基本不等式求窗口ABCD面积的最大值．
【考点精析】利用基本不等式在最值问题中的应用对题目进行判断即可得到答案，需要熟知用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”．