Question

9．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形侧面PAD⊥底面ABCD，F为BD中点，PA=PD=AD=2
（I）在线段PA上是否存在点E，使得EF∥平面PBC，指出点E的位置并证明；
（ II）求二面角E-DF-A的余弦值．

Answer 1

分析 （I）连结AC，取PA中点E，则EF∥PC，由此能证明存在点E，且E为线段PA的中点，使得EF∥平面PBC．
（Ⅱ）取AD中点O，以O为原点，OA，OF，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E-DF-A的余弦．

解答 解：（I）存在点E，且E为线段PA的中点，使得EF∥平面PBC．…（1分）
证明：如图，连结AC，因为底面ABCD是正方形，所以AC与BD互相平分，
又因为F是BD中点，所以F是AC中点，所以EF∥PC，…（3分）
又因为EF?平面PBC，PC?平面PBC，
所以EF∥平面PBC．…（5分）
解：（Ⅱ）取AD中点O，
在△PAD中，因为PA=PD，所以PO⊥AD，
因为面PAD⊥底面ABCD，且面PAD∩面ABCD=AD，
所以PO⊥面ABCD，
因为OF?面ABCD，所以PO⊥OF，
又因为F是AC的中点，所以OF⊥AD，…（7分）
如图，以O为原点，OA，OF，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
因为PA=PD=AD=2，所以OP=$\sqrt{3}$，
则O（0，0，0），A（1，0，0），B（1，2，0），C（-1，2，0），D（-1，0，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），E（$\frac{1}{2}，0，\frac{\sqrt{3}}{2}$），F（0，1，0），
$\overrightarrow{AB}$=（0，2，0），$\overrightarrow{DE}$=（$\frac{3}{2}，0，\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{DF}$=（1，1，0），
因为OC⊥面ABCD，所以$\overrightarrow{OP}$=（0，0，$\sqrt{3}$）是平面FAD的一个法向量…（9分）
设平面FED的一个法向量是$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）…（11分）
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DF}=x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=\frac{3}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\end{array}\right.$，令x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-$\sqrt{3}$），
所以cos＜$\overrightarrow{OP}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{|\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{OP}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-3|}{\sqrt{3}•\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
由图可知，二面角E-DF-A为锐角，所以二面角E-DF-A的余弦值为$\frac{\sqrt{15}}{5}$．…（12分）

点评 本题考查满足线面平行的点的位置的确定及证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．