Question

【题目】已知椭圆（是大于的常数）的左、右顶点分别为、，点是椭圆上位于轴上方的动点，直线、与直线分别交于、两点（设直线的斜率为正数）.

（Ⅰ）设直线、的斜率分别为， ，求证为定值.

（Ⅱ）求线段的长度的最小值.

（Ⅲ）判断“”是“存在点，使得是等边三角形”的什么条件？（直接写出结果）

Answer 1

【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ) ；(Ⅲ)既不充分也不必要条件．

【解析】试题分析：

(Ⅰ)由题意可得直线的斜率，直线的斜率，据此计算则有为定值．

(Ⅱ)结合点的坐标求得MN的长度表达式，结合均值不等式的结论可得线段长度的最小值为．

(Ⅲ)结合圆锥曲线的性质可知“”是“存在点，使得是等边三角形”的既不充分也不必要条件．

试题解析：

（Ⅰ）设，则，即，

∴直线的斜率，直线的斜率，

∴，

故为定值．

（Ⅱ）直线方程为，∴点坐标，

直线方程为，∴点坐标，

∴，

∴

．

故线段长度的最小值为．

（Ⅲ）“”是“存在点，使得是等边三角形”的既不充分也不必要条件．