Question

若方程3^x=4-3x和log₃（x-1）³=4-3x的解分别为x₁和x₂，则x₁+x₂=

 

．

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系,函数的零点

专题：函数的性质及应用

分析：由题意可得方程3^x-1=

4-3x

3

 和 log₃（x-1）=

4-3x

3

的解分别为x₁和x₂，再根据函数y=3^x-1和函数y=log₃（x-1）互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称，令

4-3x

3

=x，求得x的值，可得x₁+x₂的值．

解答： 解：由题意可得方程3^x-1=

4-3x

3

 和 log₃（x-1）=

4-3x

3

的解分别为x₁和x₂，
设函数y=3^x-1的图象和直线y=

4-3x

3

 的图象交点为A，
函数y=log₃（x-1）的图象和直线y=

4-3x

3

的交点为B，线段AB的中点为C，
则点C的横坐标为

x1+x2

2

．
再根据函数y=3^x-1和函数y=log₃（x-1）互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称，
故点C是直线y=

4-3x

3

和直线y=x的交点．
令

4-3x

3

=x，求得x=

2

3

，故点C的横坐标为

2

3

，∴x₁+x₂=

4

3

，
故答案为：

4

3

．

点评：本题主要考查函数的零点和方程的根的关系，函数与它的反函数图象间的关系，体现了转化的数学思想，属于基础题．