Question

轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为2，求球的体积．

Answer 1

考点：球的体积和表面积

专题：空间位置关系与距离

分析：作出轴截面，利用Rt△AOE∽Rt△ACD，求出球的半径OE（R）再计算球的体积．

解答： 解：如图所示，作出轴截面，
∵△ABC是正三角形，
∴CD=

1

2

AC=2，
∴AC=4，AD=

3

2

×4=2

3

；
∵Rt△AOE∽Rt△ACD，
∴

OE

AO

=

CD

AC

．
设OE=R，则AO=2

3

-R，
∴

R

2 3 -R

=

1

2

，
∴R=

2 3

3

．
∴V_球=

4

3

πR³=

4

3

π•(

2 3

3

)3=

32 3 π

27

．
∴球的体积等于

32 3 π

27

．

点评：本题考查了空间几何体的体积的计算问题，解题的关键是求出球的半径，是基础题．