Question

已知在平面直角坐标系xOy中，圆M的方程为（x-4）²+y²=1．以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，且与直角坐标系取相同的单位长度，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+

π

6

）=

1

2

．
（Ⅰ）求直线l的直角坐标方程和圆M的参数方程；
（Ⅱ）求圆M上的点到直线l的距离的最小值．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程

专题：计算题,直线与圆,坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）求直线l的极坐标方程化为直角坐标方程，再把圆M的直角坐标方程利用同角三角函数的基本关系化为参数方程．
（Ⅱ）设M（4+cosα，sinα），求得点M到直线l的距离，再根据正弦函数的值域求得它的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）由ρsin（θ+

π

6

）=

1

2

，得ρ（sinθcos

π

6

+cosθsin

π

6

）=

1

2

，
∴

1

2

x+

3

2

y=

1

2

，即x+

3

y=1．
∵圆M的方程为（x-4）²+y²=1，设

x-4=cosα y=sinα

，∴

x=4+cosα y=sinα

．
所以直线l的直角坐标方程为x+

3

y=1，
圆M的参数方程：

x=4+cosα y=sinα

（α为参数）；
（Ⅱ）设M（4+cosα，sinα），
则点M到直线l的距离为d=

|4+cosα+ 3 sinα-1|

1+3

=

3+2sin(α+ π 6 )

2

，
∴当sin（α+

π

6

）=-1，即α=-

2π

3

+2kπ（k∈Z）时，d_min=

1

2

．
圆M上的点到直线l的距离的最小值为

1

2

．

点评：本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．