Question

对于恰有120个元素的集合A．问是否存在子集A₁，A₂，…，A₁₀满足：
（1）|A_i|=36，i=1，2，…，10；
（2）A₁∪A₂∪…∪A₁₀=A；
（3）|A_i∩A_j|=8，i≠j．请说明理由．

Answer 1

考点：子集与真子集

专题：集合

分析：存在．考虑长度为10的0，1数列．其中仅3项为1的恰有

C

3 10

=120个，每个作为集合A的一个元素．对每个j=1，2，…，10，第j项为1的0，1数列恰有

C

2 9

=36个，它们是集合A_j的36个元素．对每对i，j∈{1，2，…，10}（i＜j），第i项与第j项均为1的0，1数列恰有

C

1 8

=8个，它们是A_i∩A_j的元素．即可得出．

解答： 解：存在．
考虑长度为10的0，1数列．其中仅3项为1的恰有

C

3 10

=120个，每个作为集合A的一个元素．
对每个j=1，2，…，10，第j项为1的0，1数列恰有

C

2 9

=36个，它们是集合A_j的36个元素．
对每对i，j∈{1，2，…，10}（i＜j），第i项与第j项均为1的0，1数列恰有

C

1 8

=8个，它们是A_i∩A_j的元素．
综上知，存在满足条件的10个子集．

点评：本题考查了具有特殊性质的集合、集合的运算，属于难题．