Question

过椭圆

x2

16

+

y2

9

=1内的点P（1，2）作两条互相垂直的弦AB，CD，若弦AB，CD的中点分别为M，N，则直线MN恒过定点，定点的坐标为

（

16

25

，

18

25

）

．

Answer 1

分析：设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），直线AB的方程为y-2=k（x-1），将其与椭圆消去y化简得（9+16k²）x²-32k（k-2）x+16（k-2）²-144=0，运用根与系数的关系算出M（

16k(k-2)

9+16k2

，

-9k+18

9+16k2

），同样理得出N（

16+32k

9k2+16

，

9k+18k2

9k2+16

），从而得到直线MN关于k为参数的两点式方程．分别取k=1和k=-1，得到动直线MN的两个位置，记为l₁、l₂，因为直线MN恒过定点，所以l₁与l₂的交点即为MN恒过的定点，由此联解直线l₁与l₂的方程组即可得到经过的定点坐标．

解答：解：设直线AB的方程为y-2=k（x-1），与椭圆消去y得
（9+16k²）x²-32k（k-2）x+16（k-2）²-144=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点为M（x_M，y_M）
∴x₁+x₂=

32k(k-2)

9+16k2

，可得x_M=

1

2

（x₁+x₂）=

16k(k-2)

9+16k2

代入直线AB方程，得y_M=

-9k+18

9+16k2

∴AB中点为M（

16k(k-2)

9+16k2

，

-9k+18

9+16k2

）
∵直线AB、CD互相垂直，∴用-

1

k

代替k，得CD中点为N（

16+32k

9k2+16

，

9k+18k2

9k2+16

）
因此，直线MN方程为

y- -9k+18 9+16k2

9k+18k2 9k2+16 - -9k+18 9+16k2

=

x- 16k(k-2) 9+16k2

16+32k 9k2+16 - 16k(k-2) 9+16k2

取k=1，得直线方程y-

9

25

=

9

32

(x+

16

25

)，记为l₁； 再k=-1，得直线方程y-

27

25

=

9

32

(x-

48

25

)，记为l₂．
∵随着直线AB、CD运动，直线MN恒过定点
∴直线l₁与l₂的交点即为MN恒过的定点，联解

y- 9 25 = 9 32 (x+ 16 25 ) y- 27 25 = 9 32 (x- 48 25 )

，得

x= 16 25 y= 18 25

因此，直线MN恒过定点（

16

25

，

18

25

）
故答案为：（

16

25

，

18

25

）

点评：本题给出椭圆经过定点（1，2）的两条垂直的弦AB、CD，求由AB、CD中点确定的直线MN经过的定点坐标．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中档题．