Question

已知曲线C：(5－m)x2＋(m－2)y2＝8(m∈R)．

(1)若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围；

(2)设m＝4，曲线C与y轴的交点为A，B(点A位于点B的上方)，直线y＝kx＋4与曲线C交于不同的两点M，N，直线y＝1与直线BM交于点G.求证：A，G，N三点共线．

 

Answer 1

（1）（2）见解析

【解析】学生错【解析】
【解析】
(1)曲线C是焦点在x轴上的椭圆，当且仅当解得2＜m＜5，所以m的取值范围是(2，5)．

(2)当m＝4时，曲线C的方程为x2＋2y2＝8，点A，B的坐标分别为(0，2)，(0，－2)．

由得(1＋2k2)x2＋16kx＋24＝0.

设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1＝kx1＋4，y2＝kx2＋4，x1＋x2＝，x1x2＝.直线BM的方程为y＋2＝x，点G的坐标为.

因为直线AN和直线AG的斜率分别为kAN＝，kAG＝－，所以kAN－kAG＝

＝＝＝＝0.

即kAN＝kAG.故A，G，N三点共线．

审题引导：(1)方程的曲线是焦点在x轴上的椭圆；

(2)证明三点共线的常用方法．

规范解答：【解析】
(1)曲线C是焦点在x轴上的椭圆，当且仅当 (3分)

解得＜m＜5，所以m的取值范围是.(4分)

(2)当m＝4时，曲线C的方程为x2＋2y2＝8，点A，B的坐标分别为(0，2)，(0，－2)．(5分)

由得(1＋2k2)x2＋16kx＋24＝0.(6分)

因为直线与曲线C交于不同的两点，所以Δ＝(16k)2－4(1＋2k2)×24＞0，即k2＞.(7分)

设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1＝kx1＋4，y2＝kx2＋4，

x1＋x2＝，x1x2＝.(8分)

直线BM的方程为y＋2＝x，点G的坐标为.(9分)

因为直线AN和直线AG的斜率分别为kAN＝，kAG＝－，(11分)

所以kAN－kAG＝＝0.

即kAN＝kAG.(13分)故A，G，N三点共线．(14分)

错因分析：易忽视焦点在x轴上，漏掉这一条件，从而失误．联立消元后易忽视Δ＞0这一前提条件．