Question

已知椭圆＝1(a>b>0)的离心率为，且过点P，A为上顶点，F为右焦点．点Q(0，t)是线段OA(除端点外)上的一个动点，过Q作平行于x轴的直线交直线AP于点M，以QM为直径的圆的圆心为N.

(1)求椭圆方程；

(2)若圆N与x轴相切，求圆N的方程；

(3)设点R为圆N上的动点，点R到直线PF的最大距离为d，求d的取值范围．

 

Answer 1

（1）＝1（2）（3）

【解析】(1)∵e＝，不妨设c＝3k，a＝5k，则b＝4k，其中k>0，故椭圆方程为＝1(a>b>0)，∵P在椭圆上，∴＝1，解得k＝1，∴椭圆方程为＝1.

(2)kAP＝＝－，则直线AP的方程为y＝－x＋4，令y＝t(0<t<4)，则x＝，∴M，∵Q(0，t)，∴N，

∵圆N与x轴相切，∴＝t，由题意M为第一象限的点，则＝t，解得t＝，

∴N，圆N的方程为.

(3)F(3，0)，kPF＝，∴直线PF的方程为y＝(x－3)，即12x－5y－36＝0，

∴点N到直线PF的距离为|6－5t|，

∴d＝|6－5t|＋(4－t)，∵0<t<4.

∴当0<t≤时，d＝(6－5t)＋(4－t)＝，此时≤d<；

当<t<4时，d＝(5t－6)＋(4－t)＝，此时<d<.

∴综上，d的取值范围为.