Question

5．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°，以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°．已知山高BC=200m，求山高MN．

Answer 1

分析 在△ABC中，求出AC，在△AMC中，利用正弦定理求出AM，然后在Rt△AMN中，求解MN．

解答 解：在△ABC中，∵∠BAC=45°，∠ABC=90°，BC=200，

∴$AC=\frac{200}{sin45°}=200\sqrt{2}$，
在△AMC中，∵∠MAC=75°，∠MCA=60°，∴∠AMC=45°，
由正弦定理可得$\frac{AM}{sin∠ACM}=\frac{AC}{sin∠AMC}$，即$\frac{AM}{sin60°}=\frac{{100\sqrt{2}}}{sin45°}$，
解得$AM=200\sqrt{3}$，
在Rt△AMN中
MN=AM•sin∠MAN=$200\sqrt{3}×sin60°$=300（m）．

点评 本题考查正弦定理在三角形的解法中的应用，考查转化思想以及计算能力．