Question

函数f（x）=ax³+（a-1）x²+48（b-3）x+b的图象关于原点成中心对称，则f（x）（ ）
A．在 上为增函数
B．在上不是单调函数
C．在上为减函数，在上为增函数
D．在为增函数，在也为增函数

Answer 1

【答案】分析：由题意判断出f（x）必为奇函数，由此根据奇函数的定义列出方程组，进而求出函数的解析式，求出导函数后，分析导函数在各个区间上的符号，即可得到答案．
解答：解：由f（x）关于原点中心对称，即f（x）是奇函数，
∴，解得a=1，b=0，
则f（x）=x³-144x
∴f′（x）=3x²-144=3（x²-48）=3（x-）（x+），
令f′（x）＞0，则x＜-或x＞
令f′（x）＜0，则-＜x＜，
∴f（x）在（-，）上为减函数，在（-∞，-），（，+∞）上是增函数，
故选D．
点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，及函数奇偶性的性质，其中根据已知条件判断出函数为奇函数，进而求出函数的解析式，是解答本题的关键．