Question

4．若a＞b＞0，下列各式不等式中恒成立的是（　　）

• A． $\frac{2a+b}{a+2b}$＞$\frac{a}{b}$
• B． $\frac{{b}^{2}+1}{{a}^{2}+1}$＞$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$
• C． a+$\frac{1}{a}$＞b+$\frac{1}{b}$
• D． a^a＞b^b

Answer 1

分析 通过举例说明A，C，D不成立，作差证明B成立．

解答 解：当a=2，b=1时，$\frac{2a+b}{a+2b}$=$\frac{5}{4}$，$\frac{a}{b}$=2；
$\frac{{b}^{2}+1}{{a}^{2}+1}$-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{（{a}^{2}+1）{a}^{2}}$（a²（b²+1）-（a²+1）b²）
=$\frac{1}{（{a}^{2}+1）{a}^{2}}$（a²-b²）＞0，
故$\frac{{b}^{2}+1}{{a}^{2}+1}$＞$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$恒成立；
当a=1，b=$\frac{1}{2}$时，a+$\frac{1}{a}$＞b+$\frac{1}{b}$不成立；
当a=$\frac{1}{2}$，b=$\frac{1}{4}$时，a^a＞b^b不成立．
故选：B．

点评 本题考查了不等关系的判断与证明，属于基础题．