Question

【题目】如图，已知椭圆，分别为其左、右焦点，过的直线与此椭圆相交于两点，且的周长为8，椭圆的离心率为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）在平面直角坐标系中，已知点与点，过的动直线（不与轴平行）与椭圆相交于两点，点是点关于轴的对称点．求证：

（i）三点共线．

（ii）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.

【解析】

Ⅰ由三角形的周长可得，根据离心率可得，即可求出，则椭圆方程可求；Ⅱ当直线l的斜率不存在时，A、B分别为椭圆短轴两端点，满足Q，A，三点共线当直线l的斜率存在时，设直线方程为，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，然后利用向量证明．由可知Q，A，三点共线，即，问题得以证明.

解：Ⅰ的周长为8，，即，

，，，

故椭圆C的方程为

Ⅱ证明：当直线l的斜率不存在时，A、B分别为椭圆短轴两端点，满足Q，A，三点共线．

当直线l的斜率存在时，设直线方程为，

联立，得．

设，，则，

，，

，，

．

与共线，则Q，A，三点共线．

由可知Q，A，三点共线，