Question

【题目】设F是抛物线y2＝4x的焦点，M，P，Q是抛物线上三个不同的动点，直线PM过点F，MQ∥OP，直线QP与MO交于点N．记点M，P，Q的纵坐标分别为y0，y1，y2．

（1）证明：y0＝y1﹣y2；

（2）证明：点N的横坐标为定值．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析 (2) 证明见解析

【解析】

（1） 由两直线平行的条件：斜率相等，运用直线的斜率公式，结合点在抛物线上，化简可得结论（2） 因为直线过点，所以，求得直线，的方程，设点坐标为，又因为直线，交于点，化简整理可得，的方程，分解因式即可得到定值．

证明：（1） 因为MQ∥OP，所以kMQ＝kOP，

所以，所以y0＝y1﹣y2；

（2） 因为直线PM过点F，

可得，

所以y1y0＝﹣4，

由（1）得y0＝y1﹣y2，所以y1，y2y0，

因为OM：yx，

PQ：y﹣y1（x），

即4x﹣（y1+y2）y+y1y2＝0，

设点N坐标为（m，n），又因为直线QP，MO交于点N，

所以nm，4m﹣（y1+y2）n+y1y2＝0，

可得y0，4m﹣（y0）n+（）（y0）＝0，

消去y0得2mn2+n2+8m3+4m2＝0，

所以（2m+1）n2+4m2（2m+1）＝0，

所以（2m+1）（n2+4m2）＝0，

因为n2+4m2≠0，

所以2m+1＝0，即m，

所以点N的横坐标为定值．