Question

正四棱锥P-ABCD的底面为边长为

2

的正方形，高为1．则此四棱锥的两个相邻侧面所成的二面角的余弦值为

 

．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法

专题：空间角

分析：设AC，BD交于点O，以OB为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出四棱锥的两个相邻侧面所成的二面角的余弦值．

解答： 解：设AC，BD交于点O，
以OB为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
则由题意，得：P（0，0，1），B（1，0，0），
C（0，1，0），D（-1，0，0），

PB

=（1，0，-1），

PC

=（0，1，-1），

PD

=（-1，0，-1），
设平面PBC的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • PB =x-z=0 n • PC =y-z=0

，取x=1，得

n

=（1，1，1），
设平面PCD的法向量

m

=（a，b，c），
则

m • PC =b-c=0 m • PD =-a-c=0

，取a=1，得

m

=（1，-1，-1），
∵cos＜

m

，

n

＞=

1-1-1

3 × 3

=-

1

3

，
四棱锥的两个相邻侧面所成的二面角为钝解角，
∴四棱锥的两个相邻侧面所成的二面角的余弦值为-

1

3

．
故答案为：-

1

3

．

点评：本题考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．