Question

设数列{a_n}的前n项的和Sn=

4

3

an-

1

3

×2n+1+

2

3

，n=1，2，3，…
（Ⅰ）求首项a₁与通项a_n；
（Ⅱ）设Tn=

2n

Sn

，n=1，2，3，…，证明：

n

i=1

Ti＜

3

2

．

Answer 1

分析：对于（Ⅰ）首先由数列{a_n}的前n项的和求首项a₁与通项a_n，可先求出S_n-1，然后有a_n=S_n-S_n-1，公比为4的等比数列，从而求解；
对于（Ⅱ）已知Tn=

2n

Sn

，n=1，2，3，…，将a_n=4ⁿ-2ⁿ代入S_n=

4

3

a_n-

1

3

×2ⁿ⁺¹+

2

3

，n=1，2，3，得S_n=

4

3

×（4ⁿ-2ⁿ）-

1

3

×2ⁿ⁺¹+

2

3

=

1

3

×（2ⁿ⁺¹-1）（2ⁿ⁺¹-2）
然后再利用求和公式进行求解．

解答：解：（Ⅰ）由S_n=

4

3

a_n-

1

3

×2ⁿ⁺¹+

2

3

，n=1，2，3，①得a₁=S₁=

4

3

a₁-

1

3

×4+

2

3

所以a₁=2．
再由①有S_n-1=

4

3

a_n-1-

1

3

×2ⁿ+

2

3

，n=2，3，4，
将①和②相减得：a_n=S_n-S_n-1=

4

3

（a_n-a_n-1）-

1

3

×（2ⁿ⁺¹-2ⁿ），n=2，3，
整理得：a_n+2ⁿ=4（a_n-1+2^n-1），n=2，3，
因而数列{a_n+2ⁿ}是首项为a1+2=4，公比为4的等比数列，即：a_n+2ⁿ=4×4^n-1=4ⁿ，n=1，2，3，
因而a_n=4ⁿ-2ⁿ，n=1，2，3，
（Ⅱ）将a_n=4ⁿ-2ⁿ代入①得S_n=

4

3

×（4ⁿ-2ⁿ）-

1

3

×2ⁿ⁺¹+

2

3

=

1

3

×（2ⁿ⁺¹-1）（2ⁿ⁺¹-2）
=

2

3

×（2ⁿ⁺¹-1）（2ⁿ-1）
T_n=

2n

Sn

=

3

2

×

2n

(2n+1-1)(2n-1)

=

3

2

×（

1

2n-1

-

1

2n+1-1

）
所以，

n

i=1

Ti=

3

2

n

i=1

(

1

2i-1

-

1

2i+1-1

）=

3

2

×（

1

21-1

-

1

2i+1-1

）＜

3

2

点评：此题主要考查数列的递推式和数列的求和，难度比较大，做题要仔细．