Question

如图，正方体ABCD-A′B′C′D′长为1，E是BB′的中点，F是B′C′的中点，
（1）求证：D′F∥平面A′DE；
（2）求二面角A-DE-A′的余弦值．

Answer 1

分析：（1）先建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，进而求出平面A′DE的法向量的坐标以及

D′F

的坐标，通过其数量积为0即可说明结论；
（2）先求出两个半平面的法向量，再代入向量的夹角计算公式即可．

解答：（1）证明：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD′分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），A（1，0，0），A′（1，0，1），D′（0，0，1）
E（1，1，

1

2

），F（

1

2

，1，1），
∴

D′F

=（

1

2

，1，0），

DA′

=（1，0，1），

DE

=（1，1，

1

2

），
设平面A′DE的法向量为

n

=（a，b，c），
则

DA′ • n =0 DE • n =0

即

a+c=0 a+b+ 1 2 c=0

从而

n

=（1，-

1

2

，-1）

n

•

D′F

=

1

2

×1+1×（-

1

2

）+0×（-

1

2

）=0，
∴

D′F

⊥

n

，
所以：D′F∥平面A′DE；
（2）解：设平面ADE的法向量为

a

=（x，y，z），

DA

=（1，0，0），

DE

=（1，1，

1

2

）
则

DA • a =0 DE • a =0

即

x=0 x+y+ 1 2 z=0

从而

a

=（0，1，-2）
由（1）知DEA′的法向量为 

n

=（1，-

1

2

，-1）
∴cos＜

a

，

n

＞=

a • n

| a |•| n |

=

0×1+1×(- 1 2 )+(-2)×(-1)

5 × 9 4

=

5

5

∴二面角A-DE-A′的余弦值为

5

5

．

点评：本题主要考察用空间向量求平面间的夹角以及向量语言表述线面的垂直、平行关系．解决问题的关键在于建立适当的坐标系，求出各点的坐标，进而求出平面的法向量的坐标．