【题目】已知函数,.
(1)对,恒成立,求实数a的取值范围;
(2)当时,求在 上的最大值和最小值;
(3)证明:对都有成立.
【答案】(1);(2)详见解析;(3)详见解析.
【解析】
(1)原不等式等价于,参变分离可求参数的取值范围.
(2)当时,,该函数的极小值点为,因函数的定义域为,故分 和两种情况分类讨论即可.
(3)即证在上恒成立,也就是在上恒成立,令,,利用导数可证.
(1)由题意,在恒成立,
即,,在恒成立,
设,只须.
由于
所以时,,单调递减;
时,,单调递增;
故.因此.
所以的取值范围为.
(2)时,,,令,得.
当时,,单调递减;
时,,单调递增.
故在时,为最小值点,且.
由题意 ,,
1°当时,在最小值为,
,
由于.
.
故.
即当时,在最小值为,
最大值为.
2°当时,在单调递增,
,
,
综上所求.
当时,,
当时,.
(Ⅲ)即证:,
即证:,亦即证:,
设,即,
令,,
当时,,单调递减;
当时,,单调递增.
即.
又设,.
当时,,单调递增;
当时,,单调递减.
故.
所以最小值与最大值均为.
但取得最小值与取得最大值时的不相同,故,
即成立,亦即结论成立.
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【题目】已知点、为双曲线的左、右焦点,过作垂直于轴的直线,在轴上方交双曲线于点,且,圆的方程是.
(1)求双曲线的方程;
(2)过双曲线上任意一点作该双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为、,求的值;
(3)过圆上任意一点作圆的切线交双曲线于、两点,中点为,求证:
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【题目】现有边长分别3,4,5的三角形两个,边长分别4,5,的三角形四个,边长分别为,4,5的三角形六个.用上述三角形为面,可以拼成______个四面体.
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【题目】给出以下关于线性方程组解的个数的命题.
①,②,③,④,
(1)方程组①可能有无穷多组解;
(2)方程组②可能有且只有两组不同的解;
(3)方程组③可能有且只有唯一一组解;
(4)方程组④可能有且只有唯一一组解.
其中真命题的序号为________________.
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【题目】在数列中,已知,对于任意的,有.
(1)求数列的通项公式.
(2)若数列满足,求数列的通项公式.
(3)设,是否存在实数,当时,恒成立?若存在,求实数的取值范围;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知函数.
(1)当时,求该函数的定义域;
(2)当时,如果对任何都成立,求实数的取值范围;
(3)若,将函数的图像沿轴方向平移,得到一个偶函数的图像,设函数的最大值为,求的最小值.
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【题目】若数列同时满足:①对于任意的正整数, 恒成立;②对于给定的正整数, 对于任意的正整数恒成立,则称数列是“数列”.
(1)已知判断数列是否为“数列”,并说明理由;
(2)已知数列是“数列”,且存在整数,使得, , , 成等差数列,证明: 是等差数列.
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【题目】某中学在高二下学期开设四门数学选修课,分别为《数学史选讲》.《球面上的几何》.《对称与群》.《矩阵与变换》.现有甲.乙.丙.丁四位同学从这四门选修课程中选修一门,且这四位同学选修的课程互不相同,下面关于他们选课的一些信息:①甲同学和丙同学均不选《球面上的几何》,也不选《对称与群》:②乙同学不选《对称与群》,也不选《数学史选讲》:③如果甲同学不选《数学史选讲》,那么丁同学就不选《对称与群》.若这些信息都是正确的,则丙同学选修的课程是( )
A. 《数学史选讲》B. 《球面上的几何》C. 《对称与群》D. 《矩阵与变换》
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