Question

【题目】平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为.

（1）求的长；

（2）求异面直线与夹角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）AC1的长为；（2）AC与BD1夹角的余弦值为。

【解析】

试题（1）记＝a，＝b，＝c，并将其作为一组基底，利用空间向量的基本定理表示出，然后利用向量的模长计算公式及数量积的运算律即可求解；（2）利用向量夹角求两条异面直线夹角，但注意向量夹角为锐角或直角时两者相等，当向量夹角为钝角时，两者互补。

试题解析：（1）记＝a，＝b，＝c，

则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，

∴a·b＝b·c＝c·a＝．

||2＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2（a·b＋b·c＋c·a）＝1＋1＋1＋2×＝6，

∴||＝，即AC1的长为．

（2）＝b＋c－a，＝a＋b，∴||＝，||＝，

·＝（b＋c－a）·（a＋b）＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1．

∴cos〈，〉＝＝．

∴AC与BD1夹角的余弦值为．