Question

【题目】已知函数.

（1）求函数在上的最小值的表达式；

（2）若函数在上有且只有一个零点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）求出函数的对称轴方程，对实数分、、三种情况讨论，分析函数在区间上的单调性，进而可得出函数在区间上的最小值的表达式；

（2）对函数分情况讨论：（i）方程在区间上有两个相等的实根；（ii）①方程在区间只有一根；（②；③.可得出关于实数的等式或不等式，即可解得实数的取值范围.

（1），其对称轴为，

当，即时，函数在区间上单调递减，；

当，即时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

；

当时，即当时，函数在区间上单调递增，.

综上所述：；

（2）（i）若方程在上有两个相等的实数根，

则，此时无解；

（ii）若方程有两个不相等的实数根.

①当只有一根在内时，，即，得；

②当时，，方程化为，其根为，，满足题意；

③当时，，方程化为，其根为，，满足题意.

综上所述，的取值范围是.