Question

【题目】已知函数．

（1）当时，求的定义域；

（2）试判断函数在区间上的单调性，并给出证明；

（3）若在区间上恒取正值，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）函数在区间上是减函数，证明见解析；（3）

【解析】

（1）将代入得到的解析式，根据解析式要有意义，列出不等式，求解即可得到的定义域；
（2）利用函数单调性的定义，令，先判断出，再根据对数的单调性，判断出，从而证明结结论；
（3）将在上恒取正值，等价为在上恒成立，转化为，利用的单调性即可求出的最小值，从而列出不等式，求解即可得到的取值范围.

（1）当时，，
，即，
，即，
∴函数的定义域为；
（2）函数在区间上是减函数.
证明：任取，且，
，

令，

，
，，
，即，
，
，
∴，
∴在上是减函数；
（3）由（2）可知，在上是减函数，
∴在上是单调递减函数，
∴在上的最小值为，
∵在上恒取正值，即在上恒成立，
，
，即，
，
，
，
故的取值范围为.