【题目】已知函数.
(1)当时,求的定义域;
(2)试判断函数在区间上的单调性,并给出证明;
(3)若在区间上恒取正值,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2)函数在区间上是减函数,证明见解析;(3)
【解析】
(1)将代入得到的解析式,根据解析式要有意义,列出不等式,求解即可得到的定义域;
(2)利用函数单调性的定义,令,先判断出,再根据对数的单调性,判断出,从而证明结结论;
(3)将在上恒取正值,等价为在上恒成立,转化为,利用的单调性即可求出的最小值,从而列出不等式,求解即可得到的取值范围.
(1)当时,,
,即,
,即,
∴函数的定义域为;
(2)函数在区间上是减函数.
证明:任取,且,
,
令,
,
,,
,即,
,
,
∴,
∴在上是减函数;
(3)由(2)可知,在上是减函数,
∴在上是单调递减函数,
∴在上的最小值为,
∵在上恒取正值,即在上恒成立,
,
,即,
,
,
,
故的取值范围为.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某企业生产甲、乙两种产品,销售利润分别为2千元/件、1千元/件.甲、乙两种产品都需要在两种设备上加工,生产一件甲产品需用设备2小时, 设备6小时;生产一件乙产品需用设备3小时, 设备1小时. 两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时,若生产的产品都能及时售出,则该企业每月利润的最大值为( )
A. 320千元 B. 360千元 C. 400千元 D. 440千元
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在对人们的休闲方式的一次调查中,用简单随机抽样方法调查了125人,其中女性70人,男性55人.女性中有40人主要的休闲方式是看电视,另外30人主要的休闲方式是运动;男性中有20人主要的休闲方式是看电视,另外35人主要的休闲方式是运动.
(1)根据以上数据建立一个列联表;
(2)能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下,认为性别与休闲方式有关系?
(3)在休闲方式为看电视的人中按分层抽样方法抽取6人参加某机构组织的健康讲座,讲座结束后再从这6人中抽取2人作反馈交流,求参加交流的恰好为2位女性的概率.
附:
P( ) | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
k | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
休闲方式 性别 | 看电视 | 运动 | 合计 |
女 | |||
男 | |||
合计 |
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.
(1)证明:AE⊥平面PCD;
(2)求二面角A-PD-C的正弦值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在某区“创文明城区”(简称“创城”)活动中,教委对本区四所高中学校按各校人数分层抽样,随机抽查了100人,将调查情况进行整理后制成下表:
学校 | ||||
抽查人数 | 50 | 15 | 10 | 25 |
“创城”活动中参与的人数 | 40 | 10 | 9 | 15 |
(注:参与率是指:一所学校“创城”活动中参与的人数与被抽查人数的比值)假设每名高中学生是否参与”创城”活动是相互独立的.
(1)若该区共2000名高中学生,估计学校参与“创城”活动的人数;
(2)在随机抽查的100名高中学生中,随机抽取1名学生,求恰好该生没有参与“创城”活动的概率;
(3)在上表中从两校没有参与“创城”活动的同学中随机抽取2人,求恰好两校各有1人没有参与“创城”活动的概率是多少?
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在四棱锥中, 是等边三角形, 为的中点,四边形为直角梯形, .
(1)求证:平面平面;
(2)求四棱锥的体积;
(3)在棱上是否存在点,使得平面?说明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某房地产开发商投资81万元建一座写字楼,第一年装修维护费为1万元,以后每年增加2万元,把写字楼出租,每年收入租金30万元.
(1)若扣除投资和各种装修维护费,则从第几年开始获取纯利润?
(2)若干年后开发商为了投资其他项目,有两种处理方案:①纯利润总和最大时,以10万元出售该楼;②年平均利润最大时以46万元出售该楼,问哪种方案更优?
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com