【题目】如图,在四棱锥中,
是等边三角形,
为
的中点,四边形
为直角梯形,
.
(1)求证:平面平面
;
(2)求四棱锥的体积;
(3)在棱上是否存在点
,使得
平面
?说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)存在
为
中点.
【解析】试题分析:(1)由
根据线面垂直的判定定理可证明
平面
,再利用面面垂直的判定定理可得结论;(2)连接
因为△
为等边三角形,
为
中点,所以
.因为
平面
,所以
,由线面垂直的性质可得
平面
,即
是棱锥
高,算出底面面积,利用棱锥的体积公式可得结果;(3)棱
上存在点
,使得
∥平面
,取
中点
,连接
由中位线定理及线面平行的判定定理可得
∥平面
,可得平面
∥平面
.再利用面面平行的性质可得结论.
试题解析:(1) 因为,
,
,
所以平面
.因为
平面
,
所以平面平面
.
(2)连接.
因为△为等边三角形,
为
中点,所以
.
因为平面
,所以
因为,所以
平面
.
所以.
在等边△中,
,
,
所以.
(3)棱上存在点
,使得
∥平面
,此时点
为
中点.取
中点
,连接
.因为
为
中点, 所以
∥
.
因为平面
,所以
∥平面
.因为
为
中点,
所以∥
.因为
平面
,所以
∥平面
.
因为,所以平面
∥平面
.
因为平面
,所以
∥平面
.
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【题目】如图,在四棱锥中,底面
为直角梯形,
,
和
均为等边三角形,且平面
平面
,点
为
的中点.
(1)求证: 平面
;
(2)求平面与平面
所成的锐二面角的余弦值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】2017年“双节”期间,高速公路车辆较多.某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查,将他们在某段高速公路的车速分成六段:
,
,
,
,
,
后得到如图的频率分布直方图.
(1)调查公司在采样中,用到的是什么抽样方法?
(2)求这40辆小型车辆车速的众数、中位数及平均数的估计值;
(3)若从车速在的车辆中任抽取2辆,求车速在
的车辆至少有一辆的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知线段AB的端点B的坐标为(3,0),端点A在圆上运动;
(1)求线段AB中点M的轨迹方程;
(2)过点C(1,1)的直线m与M的轨迹交于G、H两点,当△GOH(O为坐标原点)的面积最大时,求直线m的方程并求出△GOH面积的最大值.
(3)若点C(1,1),且P在M轨迹上运动,求的取值范围.
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【题目】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为
(1)求sinBsinC;
(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长.
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【题目】为了让贫困地区的孩子们过一个温暖的冬天,某校阳光志愿者社团组织“这个冬天不再冷”冬衣募捐活动,共有50名志愿者参与.志愿者的工作内容有两项:①到各班做宣传,倡议同学们积极捐献冬衣;②整理、打包募捐上来的衣物.每位志愿者根据自身实际情况,只参与其中的某一项工作.相关统计数据如下表所示:
(1)如果用分层抽样的方法从参与两项工作的志愿者中抽取5人,再从这5人中选2人,那么“至少有1人是参与班级宣传的志愿者”的概率是多少?
(2)若参与班级宣传的志愿者中有12名男生,8名女生,从中选出2名志愿者,用表示所选志愿者中的女生人数,写出随机变量
的分布列及数学期望.
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【题目】某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告:正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响,正东观测点听到的时间比其它两观测点晚4.已知各观测点到该中心的距离是1020
.则该巨响发生在接报中心的( )处.(假定当时声音传播的速度为340
,相关各点均在同一平面上)
A. 西偏北方向,距离
B. 东偏南
方向,距离
C. 西偏北方向,距离
D. 东偏南
方向,距离
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【题目】某同学参加语、数、外三门课程的考试,设该同学语、数、外取得优秀成绩的概率分别为,
,
(
),设该同学三门课程都取得优秀成绩的概率为
,都未取得优秀成绩的概率为
,且不同课程是否取得优秀成绩相互独立.
(1)求,
;
(2)设为该同学取得优秀成绩的课程门数,求
的分布列和数学期望.
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