【题目】2017年“双节”期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速
分成六段： 
， 
， 
， 
， 
， 
后得到如图的频率分布直方图．
（1）调查公司在采样中，用到的是什么抽样方法？
（2）求这40辆小型车辆车速的众数、中位数及平均数的估计值；
（3）若从车速在
的车辆中任抽取2辆，求车速在的车辆至少有一辆的概率．
【答案】（1）系统抽样；（2）见解析；（3）
【解析】
（1）这个抽样是按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，是一个具有相同间隔的抽样，并且总体的个数比较多，这是一个系统抽样；
（2）选出直方图中最高的矩形求出其底边的中点即为众数；求出从左边开始小矩形的面积和为0.5对应的横轴的左边即为中位数；利用各个小矩形的面积乘以对应矩形的底边的中点的和为数据的平均数；
（3）从图中可知，车速在[60，65）的车辆数和车速在[65，70）的车辆数．从车速在（60，70）的车辆中任抽取2辆，设车速在[60，65）的车辆设为a，b，车速在[65，70）的车辆设为c，d，e，f，列出各自的基本事件数，从而求出相应的概率即可．
（1）系统抽样．
（2）众数的估计值为最高的矩形的中点，即
设图中虚线所对应的车速为
，则中位数的估计值为：
，
解得
即中位数的估计值为
．
平均数的估计值为：
，
（3）车速在
的车辆数为：2
车速在
的车辆数为：4
设车速在的车辆为
，车速在的车辆为
，
则基本事件有：
，
，
共15种，其中，车速在的车辆至少有一辆的事件有：
，
共14种，
所以车速在的车辆至少有一辆的概率为
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【题目】如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA＝BD＝
，AD＝2，PA＝PD＝
，E，F分别是棱AD，PC的中点．
（1）证明：EF∥平面PAB；
（2）若二面角P－AD－B为60°．
①证明：平面PBC⊥平面ABCD；
②求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．
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【题目】如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．
(1)证明：AE⊥平面PCD；
(2)求二面角A－PD－C的正弦值．
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【题目】在某区“创文明城区”（简称“创城”）活动中，教委对本区
四所高中学校按各校人数分层抽样，随机抽查了100人，将调查情况进行整理后制成下表：
学校 |
|
|
|
|
抽查人数 | 50 | 15 | 10 | 25 |
“创城”活动中参与的人数 | 40 | 10 | 9 | 15 |
（注：参与率是指：一所学校“创城”活动中参与的人数与被抽查人数的比值）假设每名高中学生是否参与”创城”活动是相互独立的.
（1）若该区共2000名高中学生，估计
学校参与“创城”活动的人数；
（2）在随机抽查的100名高中学生中，随机抽取1名学生，求恰好该生没有参与“创城”活动的概率；
（3）在上表中从
两校没有参与“创城”活动的同学中随机抽取2人，求恰好两校各有1人没有参与“创城”活动的概率是多少？
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【题目】如图，在四棱锥
中， 
是等边三角形， 
为
的中点，四边形
为直角梯形， 
.
（1）求证：平面
平面
；
（2）求四棱锥
的体积；
（3）在棱
上是否存在点
，使得
平面
？说明理由.
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【题目】如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为
.在甲出发
后，乙从A乘缆车到B，在B处停留
后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为
，山路AC长为
，经测量，
，
.当乙出发________分钟时，乙在缆车上与甲的距离最短.
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【题目】已知直线
：
和二次函数
，若直线与二次函数
的图象交于
，
两点.
（1）求直线在
轴上的截距
；
（2）若点
的坐标为
，求
点的坐标；
（3）当
时，是否存在直线与圆
：
相切？若存在，求线段
的长；若不存在，说明理由.
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