Question

已知函数f（x）=x²+ax+3-a，a∈R．
（1）求a的取值范围，使y=f（x）在闭区间[-1，3]上是单调函数；
（2）当0≤x≤2时，函数y=f（x）的最小值是关于a的函数m（a）．求m（a）的最大值及其相应的a值；
（3）对于a∈R，研究函数y=f（x）的图象与函数y=|x²-2x-3|的图象公共点的个数、坐标，并写出你的研究结论．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出函数f（x）=x²+ax+3-a图象的对称轴为x=-．由f（x）在闭区间[-1，3]上是单调函数，能够求出a的取值范围．
（2）当a≥0时，m（a）=f（0）=3-a；当-4≤a＜0时，m（a）=f（-）=-a²-a+3；当a＜-4时，m（a）=f（2）=a+7．分段讨论并比较大小得，能够求出m（a）的最大值及其相应的a值．
（3）公共点的横坐标x满足x²+ax+3-a=|x²-2x-3|．即x是方程a（x-1）=|x²-2x-3|-x²-3的实数解．设h（x）=|x²-2x-3|-x²-3，由此入手进行研究，能够得到结论．
解答：解：（1）函数f（x）=x²+ax+3-a图象的对称轴为x=-．
因为f（x）在闭区间[-1，3]上是单调函数，所以-≤-1或-≥3．
故a≤-6，或a≥2．…（4分）
（2）当a≥0时，m（a）=f（0）=3-a；
当-4≤a＜0时，m（a）=f（-）=-a²-a+3；
当a＜-4时，m（a）=f（2）=a+7．…（2分）
所以，m（a）=，
分段讨论并比较大小得，当a=-2时，m（a）有最大值4．…（6分）
（3）公共点的横坐标x满足x²+ax+3-a=|x²-2x-3|．
即x是方程a（x-1）=|x²-2x-3|-x²-3的实数解．
设h（x）=|x²-2x-3|-x²-3，
则直线y=a（x-1）与y=h（x）有公共点时的横坐标与上述问题等价．
当x≤-1或x≥3时，h（x）=|x²-2x-3|-x²-3=-2x-6；
解方程-2x-6=a（x-1），即（a+2）x=a-6，得x=，a≠-2；…（1分）
当-1≤x≤3时，h（x）=|x²-2x-3|-x²-3=-2x²+2x．
解方程-2x²+2x=a（x-1），
即2x²+（a-2）x-a=0，得或x=1；…（2分）
研究结论及评分示例：（满分6分）
结论1：无论a取何实数值，点（1，4）必为两函数图象的公共点．…（1分）
结论2：（对某些具体的a取值进行研究）．…（2分）
当a=-2时，两图象有一个公共点（1，4）；
当a=-6时，公共点有2个，坐标为（1，4），（3，0）；
当a=2时，公共点有2个，坐标为（1，4）、（-1，0）．
（对每一个具体的a取值，结论正确给（1分），总分值不超过2分）
结论3：当-2＜a＜2，-6＜a＜-2时，公共点有3个，
坐标为（1，4）、（-，||）、（，）．…（4分）
点评：本题考查二次函数的性质和应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．