Question

8．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都相等，点F是棱BC中点，点E在棱CC₁上，且EF⊥AB₁．
（Ⅰ）求证：CC₁=4CE；
（Ⅱ）求二面角F-AE-C₁的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）方法1：设G为B₁C₁的中点，以FB，AF，FG所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系F-xyz．设三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱长为2，求出F相关点的坐标，设E=（-1，0，a），利用AB₁⊥FE，求出a，即可证明CC₁=4CE．
方法2：连接B₁F，推出AF⊥BCAF⊥EF．EF⊥AB₁，得到EF⊥平面B₁AF，B₁F⊥EF，通过证明△B₁BF∽△FCE，证明CC₁=BC=2FC=4CE．
（Ⅱ）求出平面AEF的法向量，平面AEC₁的一个法向量利用向量的数量积求解二面角F-AE-C₁的余弦值．

解答 （Ⅰ）证明（方法1）：设G为B₁C₁的中点，则FG⊥BC，从而FG⊥AF，分别以FB，AF，FG所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系F-xyz．
设三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱长为2，则F（0，0，0），$A\;（0，\;\;-\sqrt{3}，\;\;0）$，B₁（1，0，2），$\overrightarrow{A{B_1}}\;=（1，\;\sqrt{3}，\;\;2）$，设E=（-1，0，a），$\overrightarrow{FE}\;=（-1，\;0，\;\;a）$．
因为AB₁⊥FE，所以$\overrightarrow{FE}\;•\overrightarrow{A{B_1}}\;=0$，$a=\frac{1}{2}$，所以CC₁=4CE．…（6分）
证明（方法2）：如图，连接B₁F，由直棱柱的性质知，底面ABC⊥侧面BB₁C₁C，F为BC中点，所以AF⊥BC，
所以AF⊥侧面BB₁C₁C，则AF⊥EF．因为EF⊥AB₁，
所以EF⊥平面B₁AF，B₁F⊥EF，$∠{B_1}FB+∠EFC=\frac{π}{2}$，$∠{B_1}FB+∠B{B_1}F=\frac{π}{2}$，所以∠EFC=∠BB₁F，所以△B₁BF∽△FCE，$\frac{FC}{CE}=\frac{{B{B_1}}}{BF}=2$，CC₁=BC=2FC=4CE．…（6分）
（Ⅱ）解：设G为B₁C₁的中点，则FG⊥BC，从而FG⊥AF，分别以FB，AF，FG所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系F-xyz．
设三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱长为2，则F（0，0，0），$A\;（0，\;\;-\sqrt{3}，\;\;0）$，B₁（1，0，2），$\overrightarrow{A{B_1}}\;=（1，\;\sqrt{3}，\;\;2）$，设E=（-1，0，a），$\overrightarrow{FE}\;=（-1，\;0，\;\;a）$．
$\overrightarrow{FA}\;=（0，\;\;-\sqrt{3}，\;\;0）$，$\overrightarrow{FE}\;=（-1，\;0，\;\;\frac{1}{2}）$，设平面AEF的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{m}=-\sqrt{3}y=0}\\{\overrightarrow{FE}•\overrightarrow{m}=-x+\frac{z}{2}=0}\end{array}\right.$，可得平面AEF的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（1，0，2），同理可得平面AEC₁的一个法向量为：$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，1，0$），$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞=\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}=\frac{\sqrt{15}}{10}$．
经观察二面角F-AE-C₁为钝二面角，所以二面角F-AE-C₁的余弦值为$-\frac{\sqrt{15}}{10}$．…（12分）

点评 本题考查二面角的平面镜的求法，空间向量的应用，考查空间想象能力以及计算能力．