Question

17．已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≤0时，f（x）=x²+2x，那么，不等式f（x+2）＜3的解集是{x|-5＜x＜1}．

Answer 1

分析 先求出x＞0时的解析式，由偶函数性质得：f（-x）=f（x），则f（x+2）＜3可变为f（|x+2|）＜3，代入已知表达式可表示出不等式，先解出|x+2|的范围，再求x范围即可．

解答 解：设x＞0，则-x＜0，
因为当x≤0时，f（x）=x²+2x，
所以f（-x）=x²-2x，
因为f（x）为偶函数，所以f（x）=f（-x）=x²-2x，
因为f（x）为偶函数，所以f（|x+2|）=f（x+2），
则f（x+2）＜3可化为f（|x+2|）＜3，即|x+2|²-2|x+2|＜3，（|x+2|+1）（|x+2|-3）＜0，
所以|x+2|＜3，解得-5＜x＜1，
所以不等式f（x+2）＜3的解集是{x|-5＜x＜1}．
故答案为：{x|-5＜x＜1}．

点评 本题考查函数的奇偶性、一元二次不等式的解法，借助偶函数性质把不等式具体化是解决本题的关键