Question

7．如图，切线PA切圆O于点A，割线PBC与圆O交于点B，C，且PC=2PA，D为线段PC的中点，AD的延长线交圆O于点E．若PB=$\frac{3}{4}$，则AD•DE的值为$\frac{9}{8}$．

Answer 1

分析 利用切割线定理，可得PA，利用切割线定理证明PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得AD•DE=2PB²，即可得出结论

解答 解：∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，
∴PA²=PB•PC，
∵PC=2PA，PB=$\frac{3}{4}$，
∴PA²=$\frac{3}{4}$•2PA，
∴PA=$\frac{3}{2}$．
∵PA²=PB•PC，PC=2PA，
∴PA=2PB，
∴PD=2PB，
∴PB=BD=$\frac{3}{4}$，
∴BD•DC=PB•2PB，
∵AD•DE=BD•DC，
∴AD•DE=2PB²=$\frac{9}{8}$．
故答案为：$\frac{9}{8}$．

点评 本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理、相交弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．