Question

18．已知log₆a+log₆b+log₆c=6，其中a，b，c∈N⁺，若a，b，c是递增的等比数列，又b-a为一完全平方数，则a+b+c=111．

Answer 1

分析 由已知结合对数的运算性质求得abc=6⁶，再由等比数列的性质求得ac=36²，由b-a为一完全平方数，且a，b，c∈N⁺，可得a=35，32，27，20，11，再由$c=\frac{3{6}^{2}}{a}$是正整数，可得a=27，c=48．则答案可求．

解答 解：∵log₆a+log₆b+log₆c=log₆（abc）=6，
∴abc=6⁶，
∵ac=b²，
∴b³=6⁶，则b=6²=36，
∴ac=36²，
∵b-a为一完全平方数，且a，b，c∈N⁺，
∴a=35，32，27，20，11，
∵$c=\frac{3{6}^{2}}{a}$是正整数，
∴a=27，c=48．
∴a+b+c=27+36+48=111．
故答案为：111．

点评 本题考查对数的运算性质，考查了等比数列的性质，考查逻辑思维能力和推理论证能力，有一定难度．