Question

13．设a＞1，n∈N且n≥2，求证：$\root{n}{a}$-1＜$\frac{a-1}{n}$．

Answer 1

分析 转化成指数式t+1＜（1+$\frac{t}{n}$）ⁿ．再对指数式利用二项定理展开，结合放缩法证得即可

解答 证明：要证证：$\root{n}{a}$-1＜$\frac{a-1}{n}$，
即证a＜（$\frac{a-1}{n}$+1）ⁿ．
令a-1=t＞0，则a=t+1．
也就是证t+1＜（1+$\frac{t}{n}$）ⁿ．
∵（1+$\frac{t}{n}$）ⁿ=1+C_n¹$\frac{t}{n}$+…+C_nⁿ（$\frac{t}{n}$）ⁿ＞1+t，
即证：$\root{n}{a}$-1＜$\frac{a-1}{n}$成立．

点评 本题考查不等式的证明，本题还考查了二项式定理的展开式，一般地，涉及不等关系的指数式可应用二项式定理展开后进行放缩，属于中档题．