Question

4．在直角坐标系xOy中，抛物线C：y²=4x的焦点为F，准线为l，点P是准线上任一点，直线PF交抛物线于A，B两点，若$\overrightarrow{FP}$=4$\overrightarrow{FA}$，则S_△AOB=（　　）

• A． $\frac{5\sqrt{2}}{6}$
• B． 3$\sqrt{2}$
• C． $\frac{3\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{9}{2}$

Answer 1

分析 先求出直线PF的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理，结合三角形的面积公式，即可得出结论．

解答 解：不妨设B在x轴上方，直线PF的倾斜角为α，
∵$\overrightarrow{FP}$=4$\overrightarrow{FA}$，
∴由抛物线的定义，可得cosθ=$\frac{1}{3}$，
∴tanθ=2$\sqrt{2}$
∵抛物线C：y²=4x的焦点为F（1，0），
∴直线PF的方程为y=2$\sqrt{2}$（x-1），即x=$\frac{\sqrt{2}}{4}$y+1，
代入y²=4x，可得y²-$\sqrt{2}$y-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=$\sqrt{2}$，y₁y₂=-4，
∴|y₁-y₂|=$\sqrt{2+16}$=3$\sqrt{2}$，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}×1×3\sqrt{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查抛物线的性质，考查三角形面积的计算，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．