Question

15．已知抛物线y²=2px（p＞0）的准线与x轴的交点为Q，过点Q的直线与抛物线相切于点P，F是抛物线的焦点，若△PQF的面积为8，则P的值为4．

Answer 1

分析 由题意，Q（-$\frac{p}{2}$，0），F（$\frac{p}{2}$，0），设P（a，b），利用△PQF的面积为8，求出P的坐标，求出抛物线在P的切线方程，Q（-$\frac{p}{2}$，0），代入可得0-$\frac{16}{p}$=$\frac{p}{\frac{16}{p}}$（-$\frac{p}{2}$-$\frac{128}{{p}^{3}}$），解方程，可得p的值．

解答 解：由题意，Q（-$\frac{p}{2}$，0），F（$\frac{p}{2}$，0），设P（a，b），
∵△PQF的面积为8，
∴$\frac{1}{2}×p×|b|$=8，
∴|b|=$\frac{16}{p}$，∴a=$\frac{128}{{p}^{3}}$，
取P（$\frac{128}{{p}^{3}}$，$\frac{16}{p}$），则抛物线在P的切线方程为y-$\frac{16}{p}$=$\frac{p}{\frac{16}{p}}$（x-$\frac{128}{{p}^{3}}$），
Q（-$\frac{p}{2}$，0），代入可得0-$\frac{16}{p}$=$\frac{p}{\frac{16}{p}}$（-$\frac{p}{2}$-$\frac{128}{{p}^{3}}$），
∴p=4．
故答案为：4．

点评 本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的切线方程，考查学生的计算能力，属于中档题．