Question

20．过抛物线L：x²=2py（p＞0）的焦点F且斜率为$\frac{3}{4}$的直线与抛物线L在第一象限的交点为P，且|PF|=5．
（1）求抛物线L的方程；
（2）与圆x²+（y+1）²=1相切的直线l：y=kx+t交抛物线L于不同的两点M、N，若抛物线上一点C满足$\overrightarrow{OC}$=λ（$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$）（λ＞0），求λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设直线方程为y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{p}{2}$，代入x²=2py，求出P的坐标，利用抛物线的定义，求出p，即可求抛物线L的方程；
（2）为直线与圆相切，利用相切的性质即可得出k与t 的关系式，再把直线的方程与抛物线的方程联立得到关于x的一元二次方程，利用判别式△＞0得到t的取值范围，利用根与系数的关系及已知满足足$\overrightarrow{OC}$=λ（$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$）（λ＞0），即可得出λ的取值范围．

解答 解：（1）设直线方程为y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{p}{2}$，
代入x²=2py，可得x²-$\frac{3}{2}$p-p²=0，∴x=2p或-$\frac{p}{2}$，
∴P（2p，2p），
∵|PF|=5，
∴2p+$\frac{p}{2}$=5，
∴p=2，
∴抛物线L的方程x²=4y；
（2）∵直线与圆相切，
∴$\frac{|t+1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，
∴k²=t²+2t，
把直线方程代入抛物线方程并整理得：x²-4kx-4t=0
由△=16k²+16t=16（t²+2t）+16t＞0得t＞0或t＜-3
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则x₁+x₂=4k，y₁+y₂=4k²+2t
由$\overrightarrow{OC}$=λ（$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$）=（4kλ，（4k²+2t）λ）
得C（4kλ，（4k²+2t）λ）
∵点C在抛物线x²=4y上，
∴16k²λ²=4（4k²+2t）λ，
∴λ=1+$\frac{t}{2{k}^{2}}$=1+$\frac{1}{2t+4}$
∵t＞0或t＜-3，
∴2t+4＞4或 2t+4＜-2
∴λ的取值范围为（$\frac{1}{2}$，1）∪（1，$\frac{5}{4}$）．

点评 本题主要考查抛物线的方程与性质、直线方程、直线与抛物线及圆的位置关系等基础知识，考查运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力．