Question

10．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤$\frac{π}{2}$）相邻两对称中心之间的距离为π，且f（x）＞1对于任意的x∈（-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$）恒成立，则φ的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]
• B． [$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]
• C． [$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]
• D． [$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$]

Answer 1

分析 由条件利用正弦函数的图象和性质，求得ω=1，再根据当x∈（-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$）时，sin（x+φ）＞$\frac{1}{2}$恒成立，可得-$\frac{π}{12}$+φ≥$\frac{π}{6}$，且$\frac{π}{3}$+φ≤$\frac{5π}{6}$，由此求得φ的取值范围．

解答 解：∵函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤$\frac{π}{2}$）相邻两对称中心之间的距离为π，
∵$\frac{2π}{ω}$=2π，ω=1，f（x）=2sin（x+φ）．
当x∈（-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$），即x+φ∈（-$\frac{π}{12}$+φ，$\frac{π}{3}$+φ）时，f（x）＞1恒成立，
∴sin（x+φ）＞$\frac{1}{2}$恒成立，∴-$\frac{π}{12}$+φ≥$\frac{π}{6}$，且$\frac{π}{3}$+φ≤$\frac{5π}{6}$．
求得$\frac{π}{4}$≤φ≤$\frac{π}{2}$，
故选：B．

点评 本题主要考查正弦函数的图象和性质，函数的恒成立问题，属于中档题．