Question

2．已知点P到两个顶点M（-1，0），N（1，0）距离的比为$\sqrt{2}$
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程
（Ⅱ）过点M的直线l与曲线C交于不同的两点A，B，设点A关于x轴的对称点为Q（A，Q两点不重合），证明：点B，N，Q在同一条直线上．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用点P到两个顶点M（-1，0），N（1，0）距离的比为$\sqrt{2}$，建立等式，化简，即可求得动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设出直线方程，代入轨迹C的方程，利用韦达定理，证明k_BN-k_QN=0，即可得出结论．

解答 （Ⅰ）解：设P（x，y），则
∵点P到两个顶点M（-1，0），N（1，0）距离的比为$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{2}•\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$，
整理得x²+y²-6x+1=0，
∴动点P的轨迹C的方程是x²+y²-6x+1=0；
（Ⅱ）证明：由题意，直线l存在斜率，设为k（k≠0），直线l的方程为y=k（x+1）
代入x²+y²-6x+1=0，
化简得（1+k²）x²+（2k²-6）x+k²+1=0，
△＞0，可得-1＜k＜1．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则Q（x₁，-y₁），且x₁x₂=1，
∴k_BN-k_QN=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-1}$-$\frac{-{y}_{1}}{{x}_{1}-1}$=$\frac{2k（{x}_{1}{x}_{2}-1）}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}$=0，
∴B，N，Q在同一条直线上．

点评 本题考查轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．