Question

14．已知数列{a_n}满足0＜a_n＜1，且a_n+1+$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=2a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$（n∈N^*）．
（1）证明：a_n+1＜a_n；
（2）若a₁=$\frac{1}{2}$，设数列{a_n}的前n项和为S_n，证明：$\sqrt{2n+4}$-$\frac{5}{2}$＜S_n＜$\sqrt{3n+4}$-2．

Answer 1

分析 （1）把已知数列递推式变形，可得${a}_{n+1}-{a}_{n}=\frac{{a}_{n}}{1-\frac{1}{{a}_{n+1}{a}_{n}}}$，结合0＜a_n＜1，得到a_n+1-a_n=$\frac{{a}_{n}}{1-\frac{1}{{a}_{n+1}{a}_{n}}}$＜0，即a_n+1＜a_n；
（2）由已知数列递推式得${a}_{n}={a}_{n+1}-{a}_{n}+\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$，利用累加法得到S_n=${a}_{n+1}-{a}_{1}+\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{1}}$=a_n+1+$\frac{1}{{a}_{n+1}}$$-\frac{5}{2}$．把已知递推式两边平方可得${{a}_{n+1}}^{2}+2+\frac{1}{{{a}_{n+1}}^{2}}=4{{a}_{n}}^{2}+4+\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$，利用放缩法得到$2＜\frac{1}{{{a}_{n+1}}^{2}}-\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}＜3$，即2n$＜\frac{1}{{{a}_{n+1}}^{2}}-\frac{1}{{{a}_{1}}^{2}}＜3n$，进一步得到$\sqrt{2n+4}＜\frac{1}{{a}_{n+1}}＜\sqrt{3n+4}$，然后利用不等式的可加性证得$\sqrt{2n+4}$-$\frac{5}{2}$＜S_n＜$\sqrt{3n+4}$-2．

解答 证明：（1）由a_n+1+$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=2a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$，
得${a}_{n+1}-{a}_{n}+\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}={a}_{n}$，即$（{a}_{n+1}-{a}_{n}）-\frac{{a}_{n+1}-{a}_{n}}{{a}_{n+1}{a}_{n}}={a}_{n}$，
∴${（a}_{n+1}-{a}_{n}）（1-\frac{1}{{a}_{n+1}{a}_{n}}）={a}_{n}$，则${a}_{n+1}-{a}_{n}=\frac{{a}_{n}}{1-\frac{1}{{a}_{n+1}{a}_{n}}}$，
又0＜a_n＜1，
∴${a}_{n+1}-{a}_{n}=\frac{{a}_{n}}{1-\frac{1}{{a}_{n+1}{a}_{n}}}＜0$，即a_n+1＜a_n；
（2）由a_n+1+$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=2a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$，得${a}_{n}={a}_{n+1}-{a}_{n}+\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$．
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n=$（{a}_{2}-{a}_{1}）+（\frac{1}{{a}_{2}}-\frac{1}{{a}_{1}}）+（{a}_{3}-{a}_{2}）+（\frac{1}{{a}_{3}}-\frac{1}{{a}_{2}}）$+…+$（{a}_{n+1}-{a}_{n}）+（\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}）$
=${a}_{n+1}-{a}_{1}+\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{1}}={a}_{n+1}+\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{5}{2}$．
又∵a_n+1+$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=2a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$，
∴${{a}_{n+1}}^{2}+2+\frac{1}{{{a}_{n+1}}^{2}}=4{{a}_{n}}^{2}+4+\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$，
∴$\frac{1}{{{a}_{n+1}}^{2}}=\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}+2+4{{a}_{n}}^{2}-{{a}_{n+1}}^{2}$．
由0＜a_n+1＜a_n，可知$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}+2＜\frac{1}{{{a}_{n+1}}^{2}}＜\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}+2+4{{a}_{1}}^{2}=\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}+3$，
即$2＜\frac{1}{{{a}_{n+1}}^{2}}-\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}＜3$，
∴2n$＜\frac{1}{{{a}_{n+1}}^{2}}-\frac{1}{{{a}_{1}}^{2}}＜3n$，
∴$2n+4＜\frac{1}{{{a}_{n+1}}^{2}}＜3n+4$，$\sqrt{2n+4}＜\frac{1}{{a}_{n+1}}＜\sqrt{3n+4}$，
∵$0＜{a}_{n+1}＜\frac{1}{2}$．
∴$\sqrt{2n+4}-\frac{5}{2}＜{a}_{n+1}+\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{5}{2}＜\sqrt{3n+4}-2$．
∴$\sqrt{2n+4}$-$\frac{5}{2}$＜S_n＜$\sqrt{3n+4}$-2．

点评 本题考查数列递推式，考查了裂项相消法求数列的和，训练了利用放缩法证明数列不等式，考查逻辑思维能力和推理运算能力，难度较大．