Question

4．如图，已知圆E：（x+$\sqrt{3}$）²+y²=16，点F（$\sqrt{3}$，0），P是圆E上任意一点．线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q．
（1）求动点Q的轨迹Γ的方程；
（2）已知A，B，C是轨迹Γ的三个动点，点A在一象限，B与A关于原点对称，且|CA|=|CB|，问△ABC的面积是否存在最小值？若存在，求出此最小值及相应直线AB的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）连结QF，根据题意，|QP|=|QF|，则|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4＞2$\sqrt{3}$，可得动点Q的轨迹Γ是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆，即可求出动点Q的轨迹Γ的方程；
（2）设直线AB的方程为y=kx，与椭圆方程联立，求出A的坐标，同理可得点C的坐标，进而表示出△ABC的面积，利用基本不等式，即可得出结论．

解答 解：（1）Q在线段PF的垂直平分线上，所以QP=QF；得QE+QF=QE+QP=PE=4，
又$EF=2\sqrt{3}＜4$，得Q的轨迹是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆．
∴动点Q的轨迹Γ的方程$τ：\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．
（2）由点A在一象限，B与A关于原点对称，设AB：y=kx（k＞0），|CA|=|CB|，
∴C在AB的垂直平分线上，∴$CD：y=-\frac{1}{k}x$．
$\left\{\begin{array}{l}y=kx\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.⇒（1+4{k^2}）{x^2}=4$，$|{AB}|=2|{OA}|=2\sqrt{{x^2}+{y^2}}=4\sqrt{\frac{{{k^2}+1}}{{4{k^2}+1}}}$，
同理可得$|{OC}|=2\sqrt{\frac{{{k^2}+1}}{{{k^2}+4}}}$，
则S_△ABC=2S_△OAC=|OA|×|OC|=$\frac{4（1+{k}^{2}）}{\sqrt{（1+4{k}^{2}）（{k}^{2}+4）}}$．
由于$\sqrt{（1+4{k}^{2}）（{k}^{2}+4）}$≤$\frac{5（1+{k}^{2}）}{2}$，
所以S_△ABC=2S_△OAC≥$\frac{8}{5}$，当且仅当1+4k²=k²+4（k＞0），|即k=1时取等号．△ABC的面积取最小值$\frac{8}{5}$．
直线AB的方程为y=x．

点评 本题考查椭圆的定义与方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．