Question

20．双曲线E：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1的左、右顶点分别为A₁、A₂，点P是线段OA₂的中垂线与双曲线E的渐近线的交点（O为双曲线中心），若PA₁⊥PA₂，则双曲线E的离心率e=2．

Answer 1

分析 由题意画出图形，求出P点坐标，得到PA₁、PA₂所在直线斜率，由PA₁⊥PA₂，利用斜率之积等于-1求得答案．

解答 解：如图，
不妨取渐近线为y=$\frac{b}{a}x$，由x=$\frac{a}{2}$，得y=$\frac{b}{2}$．
∴P（$\frac{a}{2}，\frac{b}{2}$），
∵A₁（-a，0），A₂（a，0），
∴${k}_{P{A}_{1}}=\frac{\frac{b}{2}}{\frac{3}{2}a}=\frac{b}{3a}，{k}_{P{A}_{2}}=\frac{\frac{b}{2}}{-\frac{a}{2}}=-\frac{b}{a}$，
∵PA₁⊥PA₂，
∴$\frac{b}{3a}•（-\frac{b}{a}）=-1$，即3a²=b²=c²-a²，
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=4$，得$e=\frac{c}{a}=2$．
故答案为：2．

点评 本题考查双曲线的简单性质，考查了数形结合的解题思想方法及数学转化思想方法，是中档题．