Question

8．已知椭圆Σ：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的焦距为4，且经过点$P（2，\sqrt{2}）$．
（Ⅰ）求椭圆Σ的方程；
（Ⅱ）A、B是椭圆Σ上两点，线段AB的垂直平分线l经过M（0，1），求△OAB面积的最大值（O为坐标原点）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得c=2，求得焦点坐标，运用椭圆的定义可得2a=4$\sqrt{2}$，即a=2$\sqrt{2}$，运用a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）根据椭圆的对称性，直线AB与x轴不垂直，设直线AB：y=kx+m，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，求得O到直线AB的距离，依题意，|AM|=|BM|，运用两点的距离公式，化简可得k，m的等式，讨论k=0，k≠0，运用基本不等式和二次函数的最值求法，即可得到所求面积的最大值．

解答 解：（Ⅰ）依题意，2c=4，椭圆Σ的焦点为F₁（-2，0），F₂（2，0），
由椭圆的定义可得2a=|PF₁|+|PF₂|=$\sqrt{（2+2）^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$+$\sqrt{（2-2）^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$
=3$\sqrt{2}$+$\sqrt{2}$=4$\sqrt{2}$，
即有a=2$\sqrt{2}$，则b²=a²-c²=4，
则椭圆Σ的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（Ⅱ）根据椭圆的对称性，直线AB与x轴不垂直，设直线AB：y=kx+m，
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1\\ y=kx+m\end{array}\right.$得，（2k²+1）x²+4kmx+2m²-8=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则${x_1}+{x_2}=-\frac{4km}{{2{k^2}+1}}$，${x_1}•{x_2}=\frac{{2{m^2}-8}}{{2{k^2}+1}}$，
$|AB|=\sqrt{{k^2}+1}|{x_1}-{x_2}|=\frac{{2\sqrt{{k^2}+1}\sqrt{16{k^2}+8-2{m^2}}}}{{2{k^2}+1}}$，
O到直线AB的距离$d=\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，
△OAB的面积$S=\frac{1}{2}×|AB|×d=\frac{{\sqrt{2{m^2}（8{k^2}+4-{m^2}）}}}{{2{k^2}+1}}$，
依题意，|AM|=|BM|，即${x_1}^2+{（{y_1}-1）^2}={x_2}^2+{（{y_2}-1）^2}$，
即有（x₁-x₂）（x₁+x₂）+（y₁-y₂）（y₁+y₂-2）=0，
$（{x_1}+{x_2}）+\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}[k（{x_1}+{x_2}）+2m-2]=0$，
即为（k²+1）（x₁+x₂）+k（2m-2）=0，代入整理得，k（2k²+m+1）=0，
若k=0，则$S=\sqrt{2{m^2}（4-{m^2}）}≤2\sqrt{2}$，等号当且仅当$m=-\sqrt{2}$时成立；
若k≠0，则2k²+m+1=0，$S=\sqrt{2（-4m-{m^2}）}≤2\sqrt{2}$，
等号当且仅当m=-2，$k=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}$时成立．
综上所述，△OAB面积的最大值为$2\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的定义，考查三角形的面积的最值的求法，注意联立直线方程与椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，同时考查基本不等式和二次函数的最值求法，以及化简运算能力，属于中档题．