Question

16．若a，b，c为直角三角形三边，c为斜边，求证：a³+b³＜c³．

Answer 1

分析 运用直角三角形的勾股定理，可得a²+b²=c²，即为（$\frac{a}{c}$）²+（$\frac{b}{c}$）²=1，0＜$\frac{a}{c}$＜1，0＜$\frac{b}{c}$＜1，再由指数函数y=a^x（0＜a＜1）递减，可得（$\frac{a}{c}$）³+（$\frac{b}{c}$）³＜1，即可得证．

解答 证明：a，b，c为直角三角形三边，c为斜边，
可得a²+b²=c²，
即为（$\frac{a}{c}$）²+（$\frac{b}{c}$）²=1，
且0＜$\frac{a}{c}$＜1，0＜$\frac{b}{c}$＜1，
由（$\frac{a}{c}$）³＜（$\frac{a}{c}$）²，（$\frac{b}{c}$）³＜（$\frac{b}{c}$）²，
可得（$\frac{a}{c}$）³+（$\frac{b}{c}$）³＜（$\frac{a}{c}$）²+（$\frac{b}{c}$）²=1，
即有a³+b³＜c³．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用直角三角形的勾股定理和指数函数的单调性，考查推理和运算能力，属于中档题．