Question

4．已知a，b∈R⁺，且a≥b
求证：b≤$\sqrt{\frac{2}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}}}$≤$\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$≤$\sqrt{ab}$≤$\frac{a+b}{2}$≤$\sqrt{\frac{{a}^{2}{+b}^{2}}{2}}$≤a．

Answer 1

分析 先证$\sqrt{ab}$≤$\frac{a+b}{2}$，运用作差法可得；再由分析法证明其它，结合两边平方和不等式的性质，完全平方式非负，即可得到证明．

解答 证明：$\sqrt{ab}$-$\frac{a+b}{2}$=$\frac{2\sqrt{ab}-a-b}{2}$=-$\frac{（\sqrt{a}-\sqrt{b}）^{2}}{2}$≤0，
即有$\sqrt{ab}$≤$\frac{a+b}{2}$；
$\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$≤$\sqrt{ab}$即为$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$≥2$\sqrt{\frac{1}{ab}}$，该不等式显然成立；
$\sqrt{\frac{2}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}}}$≤$\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$即为$\frac{2}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}}$≤$\frac{4}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}+\frac{2}{ab}}$，
即有$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$-$\frac{2}{ab}$≥0，即（$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{b}$）²≥0，显然成立；
b≤$\sqrt{\frac{2}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}}}$即为b²≤$\frac{2}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}}$，即$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$+1≤2，
即有b≤a，显然成立；
$\frac{a+b}{2}$≤$\sqrt{\frac{{a}^{2}{+b}^{2}}{2}}$即为$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+2ab}{4}$≤$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$，
即有a²+b²-2ab≥0，即（a-b）²≥0，显然成立；
$\sqrt{\frac{{a}^{2}{+b}^{2}}{2}}$≤a即为$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$≤a²，即有a²+b²≤2a²，
即为b≤a，显然成立．
综上可得，原不等式成立．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用作差法和分析法证明，考查推理和运算能力，属于中档题．