Question

11．已知正数x，y，z满足x+y+z=3，求证：$\frac{\sqrt{x}}{2x+3}$+$\frac{\sqrt{y}}{2y+3}$+$\frac{\sqrt{z}}{2z+3}$≤$\frac{3}{5}$．

Answer 1

分析 由x=y=z=1时，不等式取得等号，可构造函数f（x）=$\frac{\sqrt{x}}{2x+3}$-[$\frac{1}{50}$（x-1）+$\frac{1}{5}$]，x＞0，求出导数，单调区间和极值，且为最值，再由不等式的可加性，即可得证．

解答 证明：构造函数f（x）=$\frac{\sqrt{x}}{2x+3}$-[$\frac{1}{50}$（x-1）+$\frac{1}{5}$]，x＞0，
f′（x）=$\frac{3-2x}{2\sqrt{x}（2x+3）^{2}}$-$\frac{1}{50}$，
当x∈（0，1）时，由3-2x∈（1，3），2$\sqrt{x}$（2x+3）²∈（0，50），
可得$\frac{3-2x}{2\sqrt{x}（2x+3）^{2}}$＞$\frac{1}{50}$，则f′（x）＞0，f（x）递增；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）递减．
可得f（x）在x=1处取得极大值，且为最大值0，
即为f（x）≤f（1）=0，
即$\frac{\sqrt{x}}{2x+3}$≤[$\frac{1}{50}$（x-1）+$\frac{1}{5}$]，对x＞0恒成立；
同样$\frac{\sqrt{y}}{2y+3}$≤[$\frac{1}{50}$（y-1）+$\frac{1}{5}$]，对y＞0恒成立；
$\frac{\sqrt{z}}{2z+3}$≤[$\frac{1}{50}$（z-1）+$\frac{1}{5}$]，对x＞0恒成立．
相加可得$\frac{\sqrt{x}}{2x+3}$+$\frac{\sqrt{y}}{2y+3}$+$\frac{\sqrt{z}}{2z+3}$≤$\frac{1}{50}$（x+y+z-3）+$\frac{3}{5}$=$\frac{3}{5}$．
则原不等式成立，当且仅当x=y=z=1取得等号．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用构造函数法，运用导数求得单调区间和最值，考查不等式的性质，属于难题．