Question

6．证明：1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n}}$＞$\sqrt{n}$（n＞1）．

Answer 1

分析 先证明n=2时，不等式成立，再假设n=k时，不等式成立，进而证明出n=k+1时，运用不等式的性质即可得到不等式也成立，即可得到结论．

解答 证明：运用数学归纳法证明．
（1）当n=2时，左边=1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$，右边=$\sqrt{2}$，1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$＞$\sqrt{2}$，所以不等式成立；
（2）假设n=k时不等式成立，即1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{k}}$＞$\sqrt{k}$（k≥2，k∈N^*），
那么当n=k+1时，1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{k}}$+$\frac{1}{\sqrt{k+1}}$
＞$\sqrt{k}$+$\frac{1}{\sqrt{k+1}}$=$\frac{\sqrt{k（k+1）}+1}{\sqrt{k+1}}$＞$\frac{k+1}{\sqrt{k+1}}$=$\sqrt{k+1}$．
即当n=k+1时，不等式也成立．
由（1）、（2）可知，对于任意n∈N⁺时，原不等式成立．

点评 数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立，本题考查推理能力，属于中档题．