Question

18．以一年为一个调查期，在调查某商品出厂价格及销售价格时发现：每件商品的出厂价格是在6元基础上按月份随正弦型函数曲线波动，已知3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4元，而每件商品的销售价格是在8元基础上同样按月份随正弦型函数曲线波动，且5月份销售价格最高为10元，9月份销售价格最低为6元，假设某商店每月购进这种商品m件，且当月售完，则该商店的月毛利润的最大值为6元．

Answer 1

分析 分别求出出厂价波动函数和售价波动函数，求出每件盈利的表达式，利用正弦函数的性质即可求出最大值．

解答 解：设函数y₁=Asin（ωx+α）+B，
∵函数在6元基础上按月份随正弦曲线波动的，
∴B=6，
又∵3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4元，
∴A=2，T=2×（7-3）=8，
∴$ω=\frac{π}{4}$；
即${y}_{1}=2sin（\frac{π}{4}x+α）+6$；
将（3，8）点代入函数解析式得：$α=-\frac{π}{4}$；
又${y}_{1=}2sin（\frac{π}{4}x-\frac{3π}{4}）+8$同时在8元的基础上按月份也是随正弦曲线波动的，
并已知5月份销售价格最高为10元，9月份销售价格最低为6元，
可得${y}_{2}=2sin（\frac{π}{4}x-\frac{3π}{4}）+8$；
每件盈利y=m（y₂-y₁）
=$（-2\sqrt{2}sin\frac{π}{4}x+2）m$，
当sin$\frac{π}{4}$x=-1，即$\frac{π}{4}$x=2kπ-$\frac{π}{2}$时，
解答x=8k-2，k∈Z；
∴当k=1时，估计出6月份盈利最大．
故答案为：6．

点评 本题考查了正弦函数模型的应用问题，也考查了利用正弦函数的性质求最值的应用问题，是综合性题目．