Question

17．（1）构造函数证明不等式的性质，若a＞b＞0，则$\frac{1}{a}＜\frac{1}{b}$．
（2）求证：x＞2时，x³-6x²+12x-1＞7．

Answer 1

分析 （1）设函数f（x）=$\frac{1}{x}$（x＞0），可得f（x）在（0，+∞）递减，即可得证；
（2）设g（x）=x³-6x²+12x-1，求出导数，判断x＞2时g（x）的单调性，即可得证．

解答 证明：（1）设函数f（x）=$\frac{1}{x}$（x＞0），
可得f（x）在（0，+∞）递减，
由a＞b＞0，可得f（a）＜f（b），
即为$\frac{1}{a}＜\frac{1}{b}$；
（2）设g（x）=x³-6x²+12x-1，
g′（x）=3x²-12x+12=3（x-2）²，
当x＞2时，g′（x）＞0，g（x）递增，
即有g（x）＞g（2）=7，
可得x＞2时，x³-6x²+12x-1＞7．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用构造函数判断单调性，考查运算和推理能力，属于中档题．