Question

5．如图，已知直线l与抛物线y²=2x相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，与x轴相交于点M，若y₁y₂=-4，
（1）求：M点的坐标；
（2）求证：OA⊥OB；
（3）求△AOB的面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）设M点的坐标为（t，0），直线l方程为x=my+t，代入y²=x得y²-2my-2t=0，利用韦达定理可证得M点的坐标为（2，0）．
（2）根据y₁y₂=-4结合向量的坐标运算得出OA⊥OB．
（3）S_△AOB=$\frac{1}{2}$|OM||y₁-y₂|=$\frac{1}{2}\sqrt{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}{y_2}}$=$\sqrt{{m^2}+4}$≥2．由此能求出结果．

解答 （1）解：设M点的坐标为（t，0），直线l方程为x=my+t，
代入y²=2x得y²-2my-2t=0，①
y₁、y₂是此方程的两根，
∴y₁y₂=-2t=-4，∴t=2，即M点的坐标为（2，0）；…（4分）
（2）证明：∵y₁y₂=-4，
∴x₁x₂+y₁y₂=$\frac{1}{4}$y₁²y₂²+y₁y₂=0，
∴OA⊥OB； …（8分）
（3）解：由方程①，y₁+y₂=2m，y₁y₂=-4，且|OM|=t=2，
于是S_△AOB=$\frac{1}{2}$|OM||y₁-y₂|=$\frac{1}{2}\sqrt{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}{y_2}}$×2=2$\sqrt{{m^2}+4}$≥4，
∴当m=0时，△AOB的面积取最小值4．  …（12分）

点评 本题考查抛物线的简单性质，考查三角形面积的最小值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意抛物线性质的合理运用．