Question

10．设a≥b≥c＞0，证明：$\frac{{a}^{3}}{bc}$+$\frac{{b}^{3}}{ca}$+$\frac{{c}^{3}}{ab}$≥$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2c}$+$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}}{2a}$+$\frac{{c}^{2}+{a}^{2}}{2b}$．

Answer 1

分析 a≥b≥c＞0可得a-b≥0，b-c≥0，a-c≥0，a³-b³≥0，b³-c³≥0，a³-c³≥0，运用作差比较法，化简整理，分解因式即可得到证明．

解答 证明：a≥b≥c＞0可得a-b≥0，b-c≥0，a-c≥0，
由$\frac{{a}^{3}}{bc}$+$\frac{{b}^{3}}{ca}$+$\frac{{c}^{3}}{ab}$-（$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2c}$+$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}}{2a}$+$\frac{{c}^{2}+{a}^{2}}{2b}$）
=$\frac{2{a}^{4}+2{b}^{4}+2{c}^{4}}{2abc}$-$\frac{ab（{a}^{2}+{b}^{2}）}{2abc}$-$\frac{bc（{b}^{2}+{c}^{2}）}{2abc}$-$\frac{ac（{a}^{2}+{c}^{2}）}{2abc}$
=$\frac{1}{2abc}$[（a⁴+b⁴-a³b-ab³）+（b⁴+c⁴-b³c-bc³）+（c⁴+a⁴-ac³-a³c）]
=$\frac{1}{2abc}$[（a-b）（a³-b³）+（b-c）（b³-c³）+a-c）（a³-c³）]
由a-b≥0，b-c≥0，a-c≥0，可得a³-b³≥0，b³-c³≥0，a³-c³≥0，
即有$\frac{{a}^{3}}{bc}$+$\frac{{b}^{3}}{ca}$+$\frac{{c}^{3}}{ab}$≥$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2c}$+$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}}{2a}$+$\frac{{c}^{2}+{a}^{2}}{2b}$．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用作差比较法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．